கணித விளையாட்டு!

மாயச் சதுரங்கள் பற்றி சுஜாதா ஒருமுறை விகடனில் தமது ‘கற்றதும் பெற்றதும்’ பகுதியில் எழுதியிருந்தார்.

‘மாயச் சதுரங்கள் பற்றிக் கேள்விப்பட்டிருப்பீர்கள். கிரகங்களையும் மாயச் சதுரங்களையும் சம்பந்தப்படுத்தும் பழக்கம், பழைய சீனச் சக்கரவர்த்தி ‘யூ’ என்பவரின் (கி.மு.) காலத்திலிருந்தே இருந்து வருகிறதாம். மாயச் சதுரம் என்பது என்ன? எளிய உதாரணம்: சனி கிரகத்துக்கான 3-க்கு மாயச் சதுரம் இது.

8	1	6
3	5	7
4	9	2

இதை எப்படிக் கூட்டினாலும் 15 வருகிறதல்லவா? இப்படி ஒவ்வொரு கிரகத்துக்கும் ஒரு எண்ணில் மாயச் சதுரங்கள் உண்டு. சந்திரனுக்கான மாயச் சதுரம் 9-க்கு 9. இதன் எண்களைக் குறுக்கே, நெடுக்கே (மூலைவிட்டமாகவும்) எப்படிக் கூட்டினாலும் 369 வரும். இந்தச் சதுரம் காதலர்களையும் பிரிந்துபோன தம்பதியரையும் சேர்த்து வைக்கும் சதுரம். இதை உங்களால் அமைக்க முடியுமா, பாருங்கள்!’ என்று அதில் குறிப்பிட்டிருந்தார்.

நான் உடனே அவருக்கு ஒரு கடிதம் எழுதி, அலுவலக அட்டெண்டர் மூலம் கொடுத்தனுப்பினேன். அதில், அவர் சொன்னதுபோல் 9-க்கு 9 (மொத்தம் 81 சிறு சதுரங்கள்) உள்ள மாயச் சதுரத்தைப் போட்டு, ‘இது மட்டுமல்ல; ஒற்றைப் படையிலான எத்தனைப் பெரிய மாயச் சதுரத்தையும் என்னால் அமைக்க முடியும். தவிர, ஒன்றிலிருந்து தொடங்கித்தான் வரிசையாக எண்களை எழுத வேண்டும் என்கிற அவசியமும் கிடையாது. எந்த எண்ணிலிருந்தும் தொடங்கலாம்’ என்று குறிப்பிட்டிருந்தேன். அவர் ரொம்ப இம்ப்ரெஸ் ஆகி, தொலைபேசியில் தொடர்பு கொண்டு, தனக்கு அந்த ட்ரிக்கைக் கற்றுக் கொடுக்கும்படி ஒரு குழந்தை போல் ஆர்வத்துடன் கேட்டார்.

அதன்படியே, அடுத்து வந்த ஞாயிற்றுக்கிழமையன்று அவரை அவரது வீட்டில் சந்தித்து, அந்த ட்ரிக்கை விளக்கினேன். “இது ஒற்றைப் படை எண்களுள்ள மாயச் சதுரத்துக்கான ஃபார்முலா. இரட்டைப் படை எண்களுள்ள - அதாவது, நாலுக்கு நாலு, ஆறுக்கு ஆறு, இருபதுக்கு இருபது... இப்படி - மாயச் சதுரங்களுக்கான ஃபார்முலாவும் இருக்கிறது” என்றேன். “வாவ்! அற்புதம் ரவிபிரகாஷ்! நீங்க கணக்குல புலியோ!” என்றார் உற்சாகமாக. “ஐயோ! அதெல்லாம் இல்லை, சார்! மத்த சப்ஜெக்ட்ஸைவிட கணக்கு கொஞ்சம் சுமாராக வரும். இந்த ட்ரிக்கை என் சின்ன வயதில், நான் ஐந்தாம் ஆறாம் வகுப்பு படிக்கும்போது யாரோ சொல்லிக் கொடுத்தார்கள். யாரென்பது மறந்துபோய்விட்டது. கணக்கு மட்டும் நினைவிருக்கிறது” என்றேன்.

அடுத்த வார விகடன் இதழில் சுஜாதா இதைக் குறிப்பிட்டு, “மாயச் சதுரம் பற்றி ஒரு சுவாரஸ்யமான கடிதம், விகடன் ஆசிரியர் குழுவைச் சேர்ந்த ரவிபிரகாஷிடம் இருந்து வந்தது. எந்த எண்ணையும் ஆரம்ப எண்ணாக வைத்து, ஒற்றைப் படை எண் வரிசையில் எத்தனை பெரிய மாயச் சதுரத்தையும் அமைக்க, ஓர் எளிய முறை சொல்லியிருக்கிறார். Amazing! மாயச் சதுரம் என்ற பெயர் பொருத்தமே! உதாரணத்துக்கு இதோ ஒரு மாயச் சதுரம். 17x17 வரிசையில் 289 கட்டங்கள் கொண்ட சதுரம் இது. இதில் குறுக்கே, நெடுக்கே, மூலைவிட்டமாக எப்படிக் கூட்டினாலும் 7,463 வருகிறது. இப்படி மாயச் சதுரங்கள் அமைக்கப் பொதுவான ஓர் எளிய விதி இருக்கிறது. தெரிந்தவர்கள் எழுதி அனுப்பலாம்” என்று எழுதியிருந்தார்.

ஏழெட்டுப் பேரிடமிருந்து மட்டுமே பதில்கள் வந்தன. அவர்கள் சொன்ன ஃபார்முலாக்கள் சுலபமாக இல்லாமல், சிக்கலானதாக இருந்தன. ஒரே ஒருவர் மட்டுமே அந்த எளிய விதியைத் தெளிவாகக் குறிப்பிட்டிருந்தார். அவருக்கு சுஜாதா எழுதிய புத்தகம் ஒன்று அன்பளிப்பாக அனுப்பிவைக்கப்பட்டது.

அதன்பின்னர், ‘அது என்ன ஃபார்முலா?’ என்று கேட்டு நிறையக் கடிதங்கள் வந்தன. அதைத் தெளிவாக விவரித்து எழுதி, ஜெராக்ஸ் பிரதி எடுத்து அவர்களுக்கெல்லாம் அனுப்பி வைத்தேன்.

இதைப் படிக்கும் பதிவர்கள் ஆர்வப்பட்டால், எனது அடுத்த பதிவில் அந்த ஃபார்முலாவை விளக்குகிறேன். அதற்கு முன், கீழே உள்ள மாயச் சதுரத்தைப் பார்க்கவும்.

55	76	7	28	49
73	19	25	46	52
16	22	43	64	70
34	40	61	67	13
37	58	79	10	31

இதை எப்படிக் கூட்டினாலும் 215 வரும். இதில் எண் ஒன்றிலிருந்து தொடங்கவில்லை என்பதோடு, எண்கள் அடுத்தடுத்து வரிசையாகவும் உபயோகிக்கப்படவில்லை.

சரி, வேறு ஒரு கணித விளையாட்டு விளையாடுவோமா?

1 முதல் 9 வரை வரிசையாக எழுதிக் கொள்ளுங்கள். 8 மட்டும் வேண்டாம்.
12345679 - ஆயிற்றா? இதை 2x9=18-ஆல் பெருக்கினால், விடையில் எல்லா எண்களும் 2-ஆகவே இருக்கும். 3x9=27-ஆல் பெருக்கினால், விடையில் உள்ள எல்லா எண்களும் 3-ஆகவே இருக்கும். பெருக்கித்தான் பாருங்களேன்!

சரி, இன்னொரு கணக்கு! 1 முதல் 9 வரையுள்ள எண்கள் அனைத்தையும் ஒவ்வொரு முறையே பயன்படுத்தி மூன்று இலக்க எண்கள் மூன்று எழுத வேண்டும். ஒரு நிபந்தனை: நீங்கள் எழுதும் முதல் மூன்று இலக்க எண்ணைப் போல் இரண்டாவது எண் இரண்டு மடங்கு இருக்க வேண்டும்; மூன்றாவது எண் மூன்று மடங்கு இருக்க வேண்டும்.

நான் ஒரு உதாரணம் தருகிறேன். 192 - 384 - 576. சரியா? இது போல் இன்னும்கூட இரண்டு, மூன்று விதங்களில் இந்தக் கணக்கைப் போடலாம். முயற்சி செய்யுங்கள். அடுத்த பதிவில் அந்த விடைகளைத் தருகிறேன்.
.